Geçtiğimiz gün ekipten 4 arkadaş ile 2 kişilik 2 takım oluşturduk ve meşhur futbol maçı oyunlarından birini oynadık. Takımların birinde
Kise-Özdemir (KÖ), diğerinde ise
Altıntaş-Akbal (AA) yer aldı. Toplamda 5 maç yaptık. Mücadelenin sonunda AA takımı iyi oynadıklarını ve kazandıklarını iddia ediyordu. Benim bulunduğum KÖ takımı ise tam tersini düşünüyordu. Acaba hangi takım daha başarılı?
Her bir maç için gol sayılarını aşağıda belirttim. Kolaylık olsun diye maçtaki yüksek skorları yeşil renge boyadım. Sonuçlar şöyleydi :
Sizce AA takımı mı yoksa benim bulunduğum KÖ takımı mı daha başarılı?
Maçları tekil olarak incelersek 2 maç KÖ, 3 maç AA kazanmış.
3>2 (3 büyük 2'den) olduğuna göre
AA takımı en fazla maç kazanan takım olmuş diyebiliriz. Peki ya AA takımı KÖ takımından daha başarılıdır diyebilir miyiz? Acele etmeyin! Verilere tekrar bakalım.
Tüm maçlardaki golleri de ek bir kolonda belirtelim. Toplam gol sayısıyla birlikte baktığımızda sonuçlar şöyle görünür:
Hepsini bir arada incelediğimizde KÖ takımı 11 gol atmışken, AA takımı 10 gol atabilmiş.
11>10 (11 büyük 10'dan) olduğuna göre KÖ takımı AA takımından daha başarılı bir oyunculuk sergilemiştir diyebiliriz.
Şaşırdınız mı? AA takımı buna şaşıracak. Bu mücadeleden katıksız bir üstünlük elde ettiklerini düşünüyorlardı. Ancak kazandığını sandıkları başarı, istatistiksel olarak yeterince güvenli değil. Bakış açısını değiştirip
tüm sayıları ele aldığımızda KÖ takımının daha başarılı olduğunu görüyoruz. Üzgünüm AA takımı :)
Hangi Sonuç Doğru?
Yukarıda incelediğimiz durum bir tür paradokstur.
Paradokslar içinden çıkılamaz bir zihinsel döngü oluşturur.
Paradokslara bir örnek verelim;
Küçük yaşta tahta geçen Fatih Sultan Mehmet sefere giderken babası Sultan Murat'ın ordunun başında durmasını ister fakat Sultan Murat bunu kabul etmez. Fatih babasını ikna etmek şu cümleyi kurar;
"Eğer sen padişahsan geç ordunun başına. Yok eğer ben padişahsam emrediyorum ordunun başına geçeceksin!". Nihayetinde Sultan Murat ordunun başına geçmek zorunda kalır.
Matematik yalan söylemez ama İstatistik yalan söyleyebilir. Matematik paradoksların varlığını gözler önüne serer. Ancak çıktıları nasıl değerlendireceğiniz size kalmıştır. Sonuçların en işe gelir şekilde yorumlandığı alan da İstatistik olsa gerek.
Yukarıdaki maç mücadelesi örneğinde karşılaştığımız paradoksun istatistikte özel bir adı bile var. Buna
Simpson Paradoksu veya
Yule-Simpson Etkisi adı verilir. Bu tür istatistiksel sonuçlara baktığımızda detaydaki bir eğilimin bütünde olmadığını görürüz. Detaydaki çıktı ile bütündeki çıktı çelişebilir. Hangisinin doğru olduğuna karar vermek pek mümkün olmayabilir.
Simpson Paradoksu Nedir?
Bu fenomeni ilk olarak
Edward H. Simpson 1951 yılında ortaya atmış, daha sonra
Colin R. Blyth 1972 yılında adını
Simpson'ın paradoksu olarak ilan etmiştir.
Simpson paradoksu istatistiğin çarpıtılabileceğini, farklı bakış açıları ile farklı sonuçların elde edilebileceğini gözler önüne serer. Bu durumun sebebi çoğu zaman gizli bir değişken olur. Bu değişken yüzünden
farklı parçalarda görülen eğilim parçalar birleştiğinde görülmeyebilir. Hatta eğilim tersine dönebilir.
İyi Bilinen Bazı Örnekler
1. Cinsiyet Ayrımcılığı
1973 yılında
Berkeley üniversitesi, adaylar arasında seçim yaparken
kadınlardan çok erkekleri tercih ettiği iddiası ile dava edildi. Eleme sonuçlarına baktığımızda gerçekten ortada bir cinsiyet ayrımcılığının olabileceğini görüyoruz:
Fakat sonuçları detaylı bir şekilde incelersek
başvuran kadınların erkeklere oranla daha fazla kabul edildiği ortaya çıkıyor. İşte en büyük altı bölümün eleme sonuçları:
İncelemenin sonunda davaya bakan bilir kişilerin şaşkın bir şekilde verdiği karar şu olmuş:
"Veriler düzgün bir şekilde toplanırsa ... kadınlar lehine küçük ama istatistiksel olarak önemli bir önyargı var."
2. Böbrek Taşı Tedavisi
Böbrek taşı tedavisi ile ilgili gerçek hayat örneğinin de istatistiksel sonuçları bizi şaşırtıyor. Bu sefer iki farklı firmaya ait ilaçların küçük ve büyük böbrek taşı tedavisindeki sonuçlarını ele alıyoruz. Sonuçlar şöyle:
Başarı oranlarına baktığımızda
A tedavisi hem küçük hem de büyük taş için başarılı sonuçlar üretmiş görünüyor. Ancak tüm hastaları
birlikte düşünürsek B tedavisi daha başarılı.
Bu durumda eğer böbrek taşı büyüklüğü tespit edilemezse B tedavisi tercih edilmeli. Aksi halde A tedavisi başarılı görünüyor.
Daha etkili sonuçlar elde edebilmek için çeşitli kontrolleri yapıp detaylı tanı koyulması gerekir. Hatta daha detaylı tanılar için yeni sonuçların elde edilmesi gerekir.
Alınacak Ders Nedir?
Bu sonuçların paradoks oluşturmasının sebebi
gizli bir değişkenin (lurking - confounding variable) olmasıdır. Sonucu etkileyen değişkenin ne olduğunu tespit etmek gerekir. Değişkenler arasındaki ilişki (
Association) ve nedensellik (
Causation) aynı şey değildir. Mesela yangından çok hasar gören yerlerde daha fazla itfaiye eri bulunur tespitinde gizli değişken yangının büyüklüğüdür. Yoksa itfaiye erleri hasarı arttırıyor çıkarımını yapmak doğru olmaz. (en azından öyle umut ederiz!)
Simpson paradoksu bakış açısı değiştiğinde, istatistiğin insanları nasıl aldatabileceğini anlatıyor. Karar verme sürecinde,
sonucun mutlak doğru olduğunu hemen kabul etmeyip, bütünde geçerli olan bir eğilimin parçalarda da geçerli olup olmadığını kontrol etmek gerektiğini aşılıyor. İyi tarafından bakarsak, detaylı teşhis koyamadığımız durumlarda da karar vermemizi kolaylaştırabiliyor.
İlk örneğimiz olan maç mücadelesinin sonucunda umarız dostluk kazanır :)
